有限元理論簡介

 在科技領(lǐng)域內(nèi)，只有少數(shù)力學(xué)問題和物理問題能用解析方法求出解析解，而大多數(shù)問題則不能得出解析的答案。對此類問題有兩種解決途徑：一種是引入簡化假設(shè)，從而得到問題在簡化狀態(tài)下的解答，但這種方法只在有限的情況下可行，而且由于過多的簡化可能導(dǎo)致誤差很大甚至得到錯誤的解；另一種是數(shù)值分析方法，即首先建立和原問題基本方程及相應(yīng)定解條件相等效的積分提法，然后依次建立近似解法。有限單元法是數(shù)值分析方法領(lǐng)域內(nèi)一種極為有效的方法，它不僅可以很好地模擬結(jié)構(gòu)的邊界條件，在考慮幾何非線性效應(yīng)時，還可以很好地反映變形對結(jié)構(gòu)剛度的影響，因而在進(jìn)行復(fù)雜問題的研究時，有限元法可以克服公式推導(dǎo)方法的不足。有限元的基本思想是Courant于1943年首先提出的，并將其應(yīng)用于力學(xué)問題的分析。1956年Turner等人首先將有限元法應(yīng)用于實(shí)際工程，對彈性力學(xué)平面問題進(jìn)行了分析，這也是現(xiàn)代有限元法的第一個成功嘗試。1960年Clough采用此方法進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析時，首先使用了“有限元”的名稱，使人們開始認(rèn)識了有限元的功效。由于有限元法需要進(jìn)行大量煩瑣的數(shù)值計算，在發(fā)展的初期，單靠人工是很難完成的，使該方法的應(yīng)用受到了限制，隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元法得到了越來越廣泛的應(yīng)用，并已成為解決工程力學(xué)問題的最有效方法。

 有限元法的基本思想是：將連續(xù)的求解域離散為一組有限個，且按一定方式互相連接在一起的單元組合體，從而模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域，并將單元里未知函數(shù)設(shè)為簡單形式，將微分方程組轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)變量的代數(shù)方程組，然后推導(dǎo)出求解域整體滿足的條件，從而得出問題的解。這個解是所求解問題的近似解，但它的精度已足夠滿足工程需要，而且隨著單元數(shù)目和單元自由度的增加，解的近視程度不斷提高，若單元是滿足收斂要求的，近似解最終將收斂于精確解。

 采用有限元法對各種問題進(jìn)行求解的基本步驟是相同的，只是對不同類型問題需作相應(yīng)修改。具體求解主要分成三個部分：前處理部分、有限元分析的主體部分（即求解部分）和后處理部分。前處理部分是將實(shí)際問題模型化，并給出載荷信息及能夠滿足精度要求的單元劃分。求解部分是整個分析過程的核心部分，它根據(jù)離散模型的數(shù)據(jù)文件進(jìn)行有限元分析，有限元分析的原理和采用的數(shù)值方法均集中于此。后處理部分是得出分析對象的全貌，即采集處理分析結(jié)果，通過圖形顯示和結(jié)果列表等得到有用的信息。

 近年來，隨著電子計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，有限單元法在工程中得到了越來越廣泛的應(yīng)用，迅速從結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析擴(kuò)展到幾乎所有的科技領(lǐng)域，成為一種應(yīng)用廣泛且高效實(shí)用的數(shù)值分析方法。有限單元法已經(jīng)不僅可以用于平面問題，還可以用于空間問題、板殼問題，不僅可以研究靜力平衡問題，還可以研究穩(wěn)定性問題、動力問題和波動問題。分析的對象也從彈性材料擴(kuò)展到塑性、黏彈性和復(fù)合材料等。以虛擬樣機(jī)為代表的計算機(jī)輔助工程（CAE)技術(shù)在產(chǎn)品開發(fā)、研制中顯示出無與倫比的優(yōu)越性，在工程分析設(shè)計和產(chǎn)品研制領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用。